在報表的數(shù)據(jù)統(tǒng)計中，常常會根據(jù)精度呈現(xiàn)或者單位換算等要求，需要對數(shù)據(jù)執(zhí)行四舍五入的操作，這種操作稱為舍位處理。簡單直接的舍位處理有可能會帶來隱患，原本平衡的數(shù)據(jù)關系可能會被打破。

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為了保證報表中數(shù)據(jù)關系的正確，就需要調整舍位之后的數(shù)據(jù)，使得數(shù)據(jù)重新變得平衡，這樣的調整就叫做舍位平衡。在這里我們就討論一下如何利用集算器來處理舍位平衡問題。

舍位處理往往會采取四舍五入計算，這時就會產(chǎn)生誤差，而如果報表中有這些數(shù)據(jù)的合計數(shù)值，那么舍位時產(chǎn)生的誤差就會積累，有可能導致舍位過的數(shù)據(jù)與其合計值無法匹配。例如，保留一位小數(shù)的原始的數(shù)據(jù)是4.5+4.5=9.0，而四舍五入只保留整數(shù)部分后，平衡關系就變?yōu)?+5=9了，看上去明顯是荒謬的。在這樣的情況下，需要在保持合計值正確的條件下，調整非合計數(shù)據(jù)舍位后的結果，使得數(shù)據(jù)關系重新平衡，例如調整為4+5=9。這個簡單的例子就是典型舍位平衡。

1. 單向舍位平衡

如果在數(shù)據(jù)統(tǒng)計時，每個數(shù)據(jù)只用于一次合計，那么在處理舍位平衡時，只需要根據(jù)合計值的誤差，調整使用的各項數(shù)據(jù)就可以了，這屬于比較簡單的情況。例如：

	A	B	C
1	[1.48,0,1.42,0.32,6.48,0.98,1.39]	=A1.sum()
2	=A1.(round(~))	=round(B1)	=A2.sum()

A1的序列中存儲了一些數(shù)據(jù),在B1中計算了它們的合計值，結果如下：

現(xiàn)在，將數(shù)據(jù)取整，重新統(tǒng)計。A2中將序列中每個數(shù)據(jù)用round函數(shù)四舍五入取整，得到新的序列。在B2中則將B1中的結果取整，這是數(shù)據(jù)取整后應該獲得的結果。在C2中則只是簡單地用取整后的數(shù)據(jù)來求和。A2，B2和C2中結果分別如下：

顯然，舍位后誤差的累積導致數(shù)據(jù)不再平衡，將原始數(shù)據(jù)分別四舍五入后，總和由12變成了10。那么，能不能把合計數(shù)直接改為10呢？這是不行的，因為這樣會使得最終結果與真實值完全不符。因此，為了保證舍位后仍然能夠保持平衡關系，應該分別改變各個原始數(shù)據(jù)舍位后的結果。

舍位后總計產(chǎn)生的誤差，稱為“平衡差”，舍位平衡其實就是消除平衡差的過程。處理舍位平衡的規(guī)則有很多，下面我們分別進行研究：

(1) 將平衡差整理到第一個數(shù)據(jù)中。即：

	A	B	C
1	[1.48,0,1.42,0.32,6.48,0.98,1.39]	=A1.sum()
2	=A1.(round(~))	>A2(1)+=round(B1)-A2.sum()	=A2.sum()

B2中，把平衡差折算到舍位后的第一個數(shù)據(jù)中。整理后，在C2中重新計算了舍位平衡處理后的合計值。A2和C2中的結果如下：

這種舍位平衡的處理規(guī)則最為簡單。但是，舍位后第1個數(shù)據(jù)由1.48變?yōu)榱?，明顯偏移了很多，因此這樣的處理不夠合理，特別是在數(shù)據(jù)很多的情況下，平衡差也有可能會累積的很大，進而致使第1個數(shù)據(jù)產(chǎn)生非?；闹嚨钠平Y果。

(2) 將平衡差按照“最小調整值”，對絕對值比較大的數(shù)據(jù)進行分擔調整。

所謂最小調整值，就是舍位后最小精度的單位值，例如在取整時，最小精度就是個位，最小調整值就是1或者-1。如果舍位后合計值變小，則需要將數(shù)據(jù)調大，那么最小調整值就是1；如果舍位后合計值變大，則需要將數(shù)據(jù)調小，最小調整值就是-1。而調整只針對絕對值比較大的數(shù)據(jù)，這樣它們的相對偏差就會比較小。具體調整幾個數(shù)，那就是合計值偏差除以最小調整值。

在這種規(guī)則下，前面問題的舍位平衡處理如下：

	A	B	C
1	[1.48,0,1.42,0.32,6.48,0.98,1.39]	=A1.sum()
2	=A1.(round(~))	=round(B1)-A2.sum()	=sign(B2)
3	=A1.psort@z(abs(~))	>abs(B2).run(A2(A3(#))+=C2)	=A2.sum()

因為只是取整操作，因此C2中計算的最小調整值就是合計值偏差的正負；

A3中，根據(jù)原始數(shù)據(jù)的絕對值從大到小做了一個排序，結果就是排序后的序號。

B3是最主要的，因為只是取整操作，所以B2中的偏差絕對值是多少，就調整幾個數(shù)。以此循環(huán)，依照原始值的絕對值大小，依次分配最小調整值。

C3是對調整后的A2重新驗證了合計值。

調整后，A2和C3中的結果如下：

在這種方案中，平衡差由多個數(shù)據(jù)分擔，而選擇絕對值大的數(shù)據(jù)會使得數(shù)據(jù)的相對變動最小。在結果中，1.48舍位后變?yōu)榱?，6.48舍位后變?yōu)榱?，調整平衡的結果還是比較理想的。

這種方案需要將數(shù)據(jù)按絕對值排序，執(zhí)行效率不是很好，特別是在數(shù)據(jù)量比較大的情況下，排序會耗費較多時間。

(3) 將平衡差按照最小調整值，由不為0的數(shù)據(jù)依次分擔。

在上一種調整舍位平衡的方案中，將誤差由絕對值大的一些數(shù)據(jù)來分擔。在實際操作中，為了提高效率，減少排序操作，就可以適當簡化，改為由順序排在前幾位的數(shù)據(jù)來分擔?？紤]到在四舍五入時，0并不會產(chǎn)生誤差，而且如果修改數(shù)據(jù)中的0，這樣的變動會比較明顯，因此在調整時將保留原始數(shù)據(jù)中的0不變。

在這種規(guī)則下，前面問題的舍位平衡處理如下：

	A	B	C
1	[1.48,0,1.42,0.32,6.48,0.98,1.39]	=A1.sum()
2	=A1.(round(~))	=round(B1)-A2.sum()	=sign(B2)
3	=A2.pselect@a(~!=0)	>abs(B2).run(A2(A3(#))+=C2)	=A2.sum()

A3中選擇出原始數(shù)據(jù)中非0成員的序號，在B3中調整舍位后數(shù)據(jù)時，按順序分擔。調整后，A2和C3中的結果如下：

在結果中，1.48舍位后變?yōu)榱?，1.42舍位后變?yōu)榱?，調整平衡的結果比較合理。同時這種方案避免了排序操作，效率較高，因此這種舍位平衡的規(guī)則最為常用。

在處理單向舍位平衡時，并非只有對一組序列求和的情況。更多的情況下，是對一批數(shù)據(jù)來求和，如下面的SalesRecord.txt中存儲的序表：

Name     Jan Feb Mar Apr Allen     26106    49637    27760    33829 Billy      56611     50588    54765    76072 Charlie   21249    96825    28645    55958 Daisy     3413      49069    6279      98247 Flora      7590      12072    90034    64252

現(xiàn)在，需要統(tǒng)計每位員工4個月的總銷售額，統(tǒng)計時以千元為單位，并處理舍位平衡。代碼如下：

	A	B	C	D
1	=file("SalesRecord.txt").import@t()	=A1.derive(Jan+Feb+Mar+Apr:Sum)	=B1.derive()
2	>5.(C1.field(#+1,C1.field(#+1).(round(~/1000))))	=C1.derive(Jan+Feb+Mar+Apr:Sum2)
3	for B2	>func(A5,A3)
4	=B2.derive(Jan+Feb+Mar+Apr:Sum3)
5	func	=A5.Sum-A5.Sum2	=abs(B5)	=sign(B5)*1
6		for C5	=A5.field(1+B6)	>A5.field(1+B6,C6+D5)

分步執(zhí)行代碼，A1中讀入序表后，在B1中添加合計字段Sum，結果如下：

在C1中將上面的序表復制，并在B1中將序表中的第2至第6個字段執(zhí)行舍位計算到以千為單位。此時，有可能由于四舍五入計算破壞平衡，在B2中再添加一個字段Sum2，計算舍位后4個月的合計值。B2中的序表如下：

可以看到，在此時，Sum與Sum2字段是有區(qū)別的，說明需要調整舍位平衡。在這里雖然需要調整計算后序表中的數(shù)據(jù)，但是每個數(shù)據(jù)只用于計算員工合計，因此仍然屬于單向舍位平衡。

A5中的子程序用來處理一條記錄的舍位平衡，B5中計算平衡差，C5中計算出最小調整值。在B6中循環(huán)，將平衡差拆分到記錄中前幾個數(shù)據(jù)中，這里簡單處理，并未判斷數(shù)據(jù)是否非零。

在A3中，循環(huán)序表B2中的記錄，分別調整舍位平衡。調整完畢后，在A4中再添加Sum3字段來驗證舍位平衡結果，A4中結果如下：

對比Sum與Sum3可以確認，結果調整，數(shù)據(jù)舍位后重新達成了平衡。

2. 雙向舍位平衡

如果數(shù)據(jù)在行向和列向兩個方向同時需要計算合計值，同時還需要計算所有數(shù)據(jù)的總計值，這種情況下處理舍位平衡時就復雜得多了。此時處理舍位平衡時，不僅要求最終的總計值準確，同時行向和列向計算的合計值也要與對應行、列的數(shù)據(jù)平衡，這種情況下的舍位平衡稱為雙向舍位平衡。如在SalesRecord.txt的數(shù)據(jù)中，需要再統(tǒng)計每個月的總銷售額，代碼如下：

	A	B	C
1	=file("SalesRecord.txt").import@t()	>A1.insert(0,"Total")	>4.(A1.m(-1).field(#+1,A1.field(#+1).to(,  5).sum()))
2	=A1.derive(Jan+Feb+Mar+Apr:Sum)	=A2.derive()	>5.(B2.field(#+1,B2.field(#+1).(round(~/1000))))
3	=B2.derive(Jan+Feb+Mar+Apr:Sum2)	=A3.derive(Sum2-Sum:Diff)	>B3.insert(0,"Total2")
4	>5.(B3.m(-1).field(#+1, A3.field(#+1).to(,5).sum()))	>B3.insert(0,"Diff")	>5.(B3.m(-1).field(#+1,B3(6).field(#+1)-  B3(7).field(#+1)))

A1中讀入序表，并在B1中添加一條記錄，用來在D1中計算各月總銷售額。再在A2中添加字段計算每位員工的銷售總額，以及總合計值后，結果如下：

在C2中根據(jù)上面的匯總數(shù)據(jù)，將結果舍位到以千元為單位。再根據(jù)舍位后的數(shù)據(jù)，在A3中添加字段Sum2計算舍位后的員工合計值，在B3中添加字段Diff員工合計的平衡差。最后，再添加2條記錄，分別用來計算每個月的舍位合計值，以及平衡差。計算完成后，B3中結果如下：

可以看到，當橫向和縱向分別做匯總時，舍位后需要解決的平衡問題就復雜得多了。此時修改任何一個舍位數(shù)據(jù)，都會同時影響橫向和縱向兩個方向的合計計算，這樣的問題稱為雙向舍位平衡。在上面的計算中，有一些平衡差只與合計值相關，如Total這一行中最右側的平衡差，只與各月的合計有關，這樣的平衡差稱為合計平衡差。在雙向舍位平衡表中，只存在一橫一縱兩個合計平衡差。其它的平衡差都會和具體數(shù)據(jù)相關，如Feb這個月最下方的平衡差，這種平衡差稱為非合計平衡差。

我們先從一些比較簡單的情況開始研究雙向舍位平衡：

(1)橫向與縱向的非合計平衡差符號相同。如下面的情況：

1.44	1.35	2.79
1.2	0	1.2
2.64	1.35	3.99

上面的表格中，存儲著2行2列的初始數(shù)據(jù)，同時計算出了各行各列的合計值，以及所有數(shù)據(jù)的總計值。下面將這些數(shù)據(jù)四舍五入取整，并計算每一行/列的平衡差，結果如下：

1	1	3	+1
1	0	1
3	1	4
+1

這里的“非合計平衡差”是指涉及原始數(shù)據(jù)的平衡差，此時合計數(shù)據(jù)及總計值都不需要調整?？梢钥吹?，此時只是第1行和第1列的合計值不平衡，而且都是合計值比舍位數(shù)據(jù)的和大1，這種情況下，只需要調整交叉點處的數(shù)據(jù)，根據(jù)平衡差符號加減最小調整值即可。具體操作是把交叉點處，即第1行第1列的數(shù)據(jù)舍位結果+1，就可獲得平衡，結果如下：

2	1	3
1	0	1
3	1	4

(2)同向的2個非合計平衡差符號相反。如下面的情況：

1.44	1.55	2.99
1.2	0.85	2.05
2.64	2.4	5.04

將這些數(shù)據(jù)四舍五入取整，并計算每一行/列的平衡差，結果如下：

1	2	3
1	1	2
3	2	5
+1	-1

這種情況下，仍然不需要調整總計值。由于第1列和第2列中的平衡差一正一負，只需要任選一行平衡差為0的數(shù)據(jù)，將這兩列的數(shù)分別根據(jù)按平衡差的符號加減最小調整值。如選擇第1行，將第1列的舍位結果+1，將第2列的舍位結果-1，就可獲得平衡，結果如下：

2	1	3
1	1	2
3	2	5

(3)某個合計平衡差與另一方向的非合計平衡差符號相反。如下面的情況：

1.44	1.55	2.99
1.2	0.97	2.17
2.64	2.52	5.16

將這些數(shù)據(jù)四舍五入取整，并計算每一行/列的平衡差，結果如下：

1	2	3
1	1	2
3	3	5	-1
+1

這種情況下，說明交叉點處的合計數(shù)據(jù)需要調整，只需要調整交叉點處的合計數(shù)據(jù)，根據(jù)合計平衡差的符號加減最小調整值。在這里，即修改第1列的合計結果，根據(jù)橫向的合計平衡差，將其-1，即可獲得平衡，結果如下：

1	2	3
1	1	2
2	3	5

(4)某個合計平衡差與同方向的非合計平衡差符號相同。如下面的情況：

1.48	1	2.48
2.11	1.01	3.12
3.59	2.01	5.6

將這些數(shù)據(jù)四舍五入取整，并計算每一行/列的平衡差，結果如下：

1	1	2
2	1	3
4	2	6
+1		+1

在這里是列向的合計平衡差與另一列的平衡差符號相同，在這種情況下，可以任選1行平衡差為0的數(shù)據(jù)，同時調整這2列的數(shù)據(jù)。如果選擇第1行，即同時調整第1行第1列，以及第1行的合計值，將它們分別+1即可獲得平衡，結果如下：

2	1	3
2	1	3
4	2	6

(5)兩個方向合計平衡差的符號相同。如下面的情況：

1.44	1.99	3.43
1.6	0.48	2.08
3.04	2.47	5.51

將這些數(shù)據(jù)四舍五入取整，并計算每一行/列的平衡差，結果如下：

1	2	3
2	0	2
3	2	6	+1
		+1

此時，只有合計數(shù)據(jù)影響了結果的平衡。在這種情況下，可以任選一個非合計值，根據(jù)合計平衡差的符號加減最小調整值，同樣調整這個數(shù)據(jù)的橫向和縱向合計值。在上面例子中，可以任意選擇1個數(shù)據(jù)，如第2行第2列的值，根據(jù)平衡差將它+1，同時將第2行以及第2列的合計值同時都+1，這樣就可以獲得平衡，如下：

1	2	3
2	1	3
3	3	6

由于是任選數(shù)據(jù)，也有其它的處理方式，如選擇第1行第2列的數(shù)據(jù)修改，同樣可以獲得平衡，結果如下：

1	3	4
2	0	2
3	3	6

在處理雙向舍位平衡時，只有上面的5種情況可以調整平衡。對于其它的情況，說明計算有誤，是無法通過1次調整達成舍位平衡的。但是在實際處理中，上面的情況往往是混合出現(xiàn)的。因此，可以先處理第(1)種情況，即所有非合計行列平衡差符號相同的情況，再處理第(2)種情況，將非合計行/列中不同符號的平衡差消除。全部調整理完畢后，非合計行與非合計列的平衡差只能各為一種符號。此時再處理第(3)種和第(4)種情況，將非合計行/列的平衡差與合計行/列的平衡差配合消除。最后，如果兩個方向行/列的平衡差仍未消除，再按照第(5)中情況處理。這樣，就可以對一般性的表格完成雙向舍位平衡處理了。

再回到這一節(jié)開始時的銷售數(shù)據(jù)表，下面的代碼將處理其中的舍位平衡：

	A	B	C	D	E
1	=file("SalesRecord.txt").import@t()	>A1.insert(0,"Total")	>4.(A1.m(-1).field(#+1,A1.field(#+1).to(,  5).sum()))
2	=A1.derive(Jan+Feb+Mar+Apr:Sum)	=A2.derive()	>5.(B2.field(#+1,B2.field(#+1).(round(~/1000))))
3	=B2.derive(Jan+Feb+Mar+Apr:Sum2)	=A3.derive(Sum-Sum2:Diff)	>B3.insert(0,"Total2")
4	>5.(B3.m(-1).field(#+1,A3.field(#+1).to(,5).sum()))	>B3.insert(0,"Diff")	>5.(B3.m(-1).field(#+1,B3(6).field(#+1)-  B3(7).field(#+1)))
5	=B2.len()	=B2.fno()	=B3.(Diff).to(,A5)	=B3.m(-1).array().to(2,B5)
6	for A5-1	for B5-2	for C5(A6)*D5(B6)>0	=sign(C5(A6))	>func(A26,B2(A6),B6+1,D6)
7				>C5(A6)-=D6	>D5(B6)-=D6
8	for A5-2	for A5-1-A8	for C5(A8)*C5(A8+B8)<0	=sign(C5(A8))	=D5.pselect(~==0)
9				>func(A26,B2(A8),E8+1,D8)	>func(A26,B2(A8+B8),E8+1,-D8)
10				>C5(A8)-=D8	>C5(A8+B8)+=D8
11	for B5-3	for B5-2-A11	for D5(A11) * D5(A11+B11) < 0	=sign(D5(A11))	=C5.pselect(~==0)
12				>func(A26,B2(E11),A11+1,D11)	>func(A26,B2(E11),A11+B11+1,-D11)
13				>D5(A11)-=D11	>D5(A11+B11)+=D11
14	if C5(A5)!=0	for B5-2	for C5(A5)*D5(B14)<0	=sign(C5(A5))	>func(A26,B2(A5),B14+1,D14)
15				>C5(A5)-=D14	>D5(B14)+=D14
16	if D5(B5-1)!=0	for A5-1	for C5(B16)*D5(B5-1)<0	=sign(D5(B5-1))	>func(A26,B2(B16),B5,D16)
17				>D5(B5-1)-=D16	>C5(B16)+=D16
18	if C5(A5)!=0	for A5-1	for C5(A5)*C5(B18)>0	=sign(C5(A5))	=D5.pselect(~==0)
19				>func(A26,B2(B18),E18+1,D18)	>func(A26,B2(A5),E18+1,D18)
20				>C5(A5)-=D18	>C5(B18)-=D18
21	if D5(B5-1)!=0	for B5-2	for D5(B21)*D5(B5-1)>0	=sign(D5(B5-1))	=C5.pselect(~==0)
22				>func(A26,B2(E21),B5,D21)	>func(A26,B2(E21),B21+1,D21)
23				>D5(B5-1)-=D21	>D5(B21)-=D21
24	if C5(A5)*D5(B5 -1)>0	>func(A26,B2(1),2,C5(A5))	>func(A26,B2(1),B5,C5(A5))	>func(A26,B2(A5),2,C5(A5))
25		>C5(A5)=0	>D5(B5-1)=0
26	func
27		=A26.field(B26)	>A26.field(B26,B27+C26)

程序比較復雜，下面簡要說明一下功能。A26處的子程序用來修改序表中的1條記錄，將其指定位置的數(shù)據(jù)加上所需的調整值。由于用于計算的序表中，第一列為Name，實際并不參與計算，因此整理數(shù)據(jù)時將其跳過。C5和D5中分別獲得橫向和縱向的平衡差序列。在第6、7行，循環(huán)處理第(1)種情況，如果兩個方向的平衡差符號相同，改變交叉點處的舍位結果。在第8~13行，分橫縱兩種情況，處理第(2)種情況，如果同向的兩個平衡差符號相反時，修改這兩行/列中的舍位結果。第14~17行，處理第(3)種情況，當合計平衡差與另一方向的非合計平衡差符號相反時，調整交叉點處的合計結果。在第18~23行，處理第(4)種情況，當合計平衡差與同方向的非合計平衡差符號相同時，修改這兩行/列中的數(shù)據(jù)。最后，在第24和25行，判斷前面的修改完成后，是否仍然存在兩個合計平衡差，此時相應調整第1個數(shù)據(jù)的舍位結果，同時調整第1行和第1列的合計值。

雙向舍位平衡處理完成后，在B2中可以查看最終結果：

運算時，處理過程如下：

Name	Jan	Feb	Mar	Apr	Sum	Diff
Allen	26.0	50.0	28.0	34.0	137.0	-1
Billy	57.0	51.0	55.0	76.0	238.0	-1
Charlie	21.0	97.0	29.0	56.0	203.0	0
Daisy	3.0	49.0	6.0	98.0	157.0	1
Flora	8.0	12.0	90.0	64.0	174.0	0
Total	115.0	258.0	207.0	328.0	909.0	1
Diff	0	-1	-1	0	0

執(zhí)行第(1)步處理，將不同方向上符號相同的非合計平衡差消除后，結果如下：

Name	Jan	Feb	Mar	Apr	Sum	Diff
Allen	26.0	49.0	28.0	34.0	137.0	0
Billy	57.0	51.0	54.0	76.0	238.0	0
Charlie	21.0	97.0	29.0	56.0	203.0	0
Daisy	3.0	49.0	6.0	98.0	157.0	1
Flora	8.0	12.0	90.0	64.0	174.0	0
Total	115.0	258.0	207.0	328.0	909.0	1
Diff	0	0	0	0	0

這個例子中，執(zhí)行第(1)步處理后，并沒有符號相反的非合計平衡差，不需執(zhí)行第(2)步處理。在第(3)步處理中，查找合計平衡差是否與另一方向上的非合計平衡差符號相反的情況，同樣不存在。

在第(4)步處理中，查找合計平衡差與同向的非合計平衡差符號相同的情況，處理結果如下：

Name	Jan	Feb	Mar	Apr	Sum	Diff
Allen	26.0	49.0	28.0	34.0	137.0	0
Billy	57.0	51.0	54.0	76.0	238.0	0
Charlie	21.0	97.0	29.0	56.0	203.0	0
Daisy	4.0	49.0	6.0	98.0	157.0	0
Flora	8.0	12.0	90.0	64.0	174.0	0
Total	116.0	258.0	207.0	328.0	909.0	0
Diff	0	0	0	0	0

此時，所有的平衡差已經(jīng)都變?yōu)榱?，說明各個方向上的計算已經(jīng)恢復平衡，舍位平衡處理完成。如果仍未平衡，則需要進一步執(zhí)行第(5)步處理。

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